Im mniejsza liczba po dwukropku tym mapa jest dokładniejsza. Z tego też względu najdokładniejsza będzie mapa w skali \(1:5000\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - liczba chłopców
\(x-8\) - liczba dziewczyn

Zapisaliśmy \(x-8\) jako liczbę dziewczyn, bo z treści zadania wynika że dziewczyn jest o \(8\) mniej niż chłopców.

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Łącznie w wycieczce rowerowej uczestniczy \(32\) uczniów, zatem:
$$x+(x-8)=32 \           ,\
2x-8=32 \           ,\
2x=40 \           ,\
x=20$$

Iksem oznaczyliśmy sobie liczbę chłopców, zatem otrzymany wynik jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Ten znak drogowy ma dokładnie dwie osie symetrii:

Zwycięzcą wyścigu był Kuba z wynikiem \(4min\;40s\). Najgorszy czas miał Janek i było to \(7min\;8s\). Różnica między tymi czasami jest równa \(2min\;28s\).

Zosia może zakupić maksymalnie \(4\) bilety, płacąc za nie wtedy \(4\cdot10,50=42zł\). Jeżeli nie dostrzegamy tego, że są to konkretnie \(4\) bilety, to możemy wykonać proste dzielenie z resztą:
$$45:10,50=4\;r.3$$

Powyższe działanie oznacza, że możemy kupić \(4\) bilety i zostanie nam jeszcze \(3zł\) reszty.

Musimy obliczyć koszt godziny pływania dla każdej z kart:
I karta: \(\frac{50zł}{10godz.}=5\frac{zł}{godz.}\)
II karta: \(\frac{50zł}{12godz.}\approx4,17\frac{zł}{godz.}\)
III karta: \(\frac{80zł}{20godz.}=4\frac{zł}{godz.}\)
IV karta: \(\frac{70zł}{15godz.}\approx4,67\frac{zł}{godz.}\)

Godzina pływania jest więc najtańsza przy zakupie trzeciej karty.

Krok 1. Obliczenie liczby obrotów małego kółka.
Małe kółko ma obwód \(40cm\), a pokonany dystans to \(500m\). Chcąc się dowiedzieć ile obrotów wykonało to kółko musimy ujednolicić jednostki (np. zapisując obwód kółka jako \(40cm=0,4m\)). Otrzymamy wtedy:
$$500m:0,4m=1250$$

Krok 2. Obliczenie liczby obrotów dużego kółka.
Analogicznie musimy postąpić z dużym kółkiem. Zapiszmy zatem, że \(80cm=0,8m\), czyli liczba obrotów będzie równa:
$$500m:0,8m=625$$

Krok 3. Obliczenie różnicy liczby obrotów.
W treści zadania proszą nas o podanie różnicy w liczbie obrotów, zatem:
$$1250-625=625$$

Duże kółko wykona więc o \(625\) obrotów więcej.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana pierwszego dnia
\(2x\) - trasa pokonana drugiego dnia
\(x-5\) - trasa pokonana trzeciego dnia

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Łącznie w trzy dni uczniowie przeszli \(39km\), zatem możemy zapisać, że:
$$x+(2x)+(x-5)=39 \           ,\
4x-5=39 \           ,\
4x=44 \           ,\
x=11$$

Z racji tego iż naszym iksem jest liczba kilometrów przebytych pierwszego dnia, to właśnie to jest nasza prawidłowa odpowiedź.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie narysować tę sytuację. Koń porusza się po okręgu, a długość uwięzi będzie w tym przypadkiem promieniem. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Krok 2. Obliczenie długości obwodu okręgu.
Policzmy najpierw jaką długość pokonuje koń wykonując jedno okrążenie. Skorzystamy ze wzoru na obwód okręgu:
$$Obw=2πr \           ,\
Obw=2π\cdot5m \           ,\
Obw=10πm$$

Krok 3. Obliczenie długości całej trasy.
Nasz koń wykonuje \(40\) okrążeń, zatem otrzymany przed chwilą obwód będziemy musieli pomnożyć przez \(40\). Dodatkowo z racji tego iż w odpowiedziach pojawiają się przybliżenia, to w trakcie obliczeń zapiszemy, że \(π=3,14\). Zatem:
$$Trasa=40\cdot10π\;m \           ,\
Trasa=400π\;m \           ,\
Trasa\approx400\cdot3,14m\           ,\
Trasa\approx1256m$$

Z racji tego iż w odpowiedziach mamy podane długości w kilometrach to i my musimy otrzymany wynik zamienić na tę jednostkę:
$$1256m=1,256km\approx1,3km$$

Krok 1. Ustalenie liczby krawędzi sześcianu i czworościanu.
Budując bryły z patyczków budujemy tak naprawdę szkielet w którym patyczki są krawędziami danej bryły. Chcąc więc zacząć rozwiązywanie tego zadania musimy w ogóle ustalić ile krawędzi mają poszczególne bryły:


Czworościan ma \(6\) krawędzi, a sześcian ma \(12\) krawędzi.

Krok 2. Zapisanie prawidłowego układu równań.
Pierwsze równanie jest tak naprawdę znane, nawet przyglądając się wszystkim odpowiedziom widzimy wyraźnie, że w każdej z odpowiedzi pojawia się \(x+y=15\). Jest to logiczne, bo wszystkich brył ma być dokładnie \(15\). Ustalmy zatem jakie będzie drugie równanie. Skoro na każdy czworościan zużywamy \(6\) patyczków, to na \(x\) czworościanów zużyjemy \(6x\) patyczków. Analogicznie skoro na każdy sześcian zużywamy \(12\) patyczków, to na \(y\) sześcianów zużyjemy \(12y\) patyczków. Łącznie patyczków mamy \(120\), zatem drugim równaniem będzie na pewno:
$$6x+12y=120$$

To oznacza, że prawidłowy układ równań jest zapisany w czwartej odpowiedzi.

Krok 1. Obliczenie ile procent uczniów wybrało jezioro.
Na samym początku musimy ustalić ile procent uczniów wybrało jezioro jako ulubione miejsce wypoczynku. Na pozostałe formy wypoczynku zagłosowało:
$$20\%+15\%+10\%+25\%=70\%$$

Diagram kołowy sumuje się zawsze do \(100\%\), zatem jezioro wybrało:
$$100\%-70\%=30\%$$

Krok 2. Obliczenie łącznej liczby ankietowanych uczniów.
Wiemy, że \(90\) uczniów wybrało jezioro i jednocześnie jest to \(30\%\) wszystkich ankietowanych. Układając więc prostą proporcję bez problemu obliczymy łączną liczbę wszystkich ankietowanych:
Skoro \(30\%\) ankietowanych to \(90\) uczniów
To \(10\%\) ankietowanych to \(30\) uczniów
Więc \(100\%\) ankietowanych to \(300\) uczniów.

To oznacza, że w ankiecie brało udział \(300\) uczniów.

Skoro wypoczynek w górach wybrało \(20\%\) ankietowanych, to nasz poszukiwany kąt środkowy będzie stanowić \(20\%\) miary kąta pełnego. W takim razie będzie to kąt:
$$0,2\cdot360°=72°$$

Krok 1. Zapisanie poprawnych oznaczeń.
Wypiszmy dane z treści zadania, stosując przy okazji poprawne oznaczenia:
\(x\) - długość mostu
\(150\) - długość mostu jaka zachodzi na pierwszy brzeg
\(\frac{1}{3}x\) - długość mostu jaka zachodzi na drugi brzeg
\(\frac{1}{6}x\) - szerokość rzeki

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Długość mostu będzie równa sumie części zachodzącej na pierwszy i drugi brzeg oraz szerokości samej rzeki. Możemy zatem zapisać, że:
$$x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x$$

Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, wymnażając wszystko przez \(6\), otrzymamy wtedy:
$$6x=900+2x+x \           ,\
3x=900 \           ,\
x=300$$

Krok 3. Wyznaczenie szerokości rzeki.
Otrzymany wynik to jeszcze nie koniec obliczeń, bo wyznaczyliśmy do tej pory długość mostu, a my szukamy szerokości rzeki. Z treści zadania i z oznaczeń które sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku wynika, że szerokość rzeki stanowi \(\frac{1}{6}\) długości mostu, czyli:
$$\frac{1}{6}\cdot300m=50m$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować szkice dwóch brył, które są przedmiotem naszego zadania, nanosząc od razu dane z treści zadania:


Krok 2. Obliczenie wysokości stożka (foremki).
Generalnie istota zadania opiera się na tym by obliczyć objętość dwóch naszkicowanych przed chwilą brył. Obliczenie wartości walca jest proste, bo mamy wszystkie potrzebne dane. Nieco gorzej jest ze stożkiem, bo tutaj brakuje nam wysokości tej bryły. Musimy zatem na samym początku obliczyć długość tej wysokości, a pomoże nam w tym Twierdzenie Pitagorasa:
$$5^2+H^2=13^2 \           ,\
25+H^2=169 \           ,\
H^2=144 \           ,\
H=12$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka (foremki).
Obliczenia objętości brył zaczniemy od obliczenia objętości stożka, a w tym pomoże nam wzór na objętość tej bryły, który ma następującą postać:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Z racji tego iż w podstawie mamy koło, to pod \(P_{p}\) możemy podstawić wzór na pole koła, czyli \(πr^2\). Promień tego koła jest znany (\(r=5\)), wysokość obliczyliśmy w poprzednim kroku (\(H=12\)), zatem teraz bez przeszkód obliczymy objętość stożka:
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}π\cdot5^2\cdot12 \           ,\
V=\frac{1}{3}π\cdot5^2\cdot12 \           ,\
V=4π\cdot25 \           ,\
V=100π$$

Krok 4. Obliczenie objętości walca (wiaderka).
Wiaderko ma promień podstawy równy dwukrotności promienia podstawy foremki, czyli:
$$r=2\cdot5cm=10cm$$

Wiemy już, że w podstawie znajduje się koło o promieniu \(r=10cm\), dodatkowo z treści zadania wiemy że wysokość walca jest równa \(H=36cm\), czyli objętość walca będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \           ,\
V=πr^2\cdot H \           ,\
V=π\cdot10^2\cdot36 \           ,\
V=100π\cdot36 \           ,\
V=3600π$$

Krok 5. Obliczenie jaka część wiaderka została wypełniona.
Dziecko do wiaderka wrzuciło \(6\) foremek piasku, z czego każda ma objętość \(V=100π\). Zatem wrzucona objętość wynosi \(6\cdot100π=600π\). Wiaderko ma objętość \(3600π\), zatem piasek z sześciu foremek stanowi:
$$\frac{600π}{3600π}=\frac{1}{6}$$